Materi Barisan dan Deret Aritmatika: Rumus dan Contoh Soal

Barisan dan deret aritmatika merupakan sebuah perhitungan yang menggunakan konsep urutan bilangan yang sudah tersusun. Barisan yang sudah tersusun dengan urutan tertentu disebut juga dengan pola bilangan.

Suku yaitu terdiri dari bilangan – bilangan yang terdapat pada barisan bilangan yang sudah tersusun. Dalam pembentukan barisan terdapat aturan dalam penyusunan bilangan tersebut. Contohnya yaitu :

• Barisan bilangan 1, 2 , 4, 8, 16, 32 ==> aturan pembentukan bilangan ini yaitu dikalikan 2, yang dimulai dari suku ke1 dan lanjut ke suku 2 ( 1×2=2), suku ke3 (2×2=4), suku ke4 (2×4=8) dan seterusnya.
• Barisan bilangan 1, 3, 6, 10, 15 ==> aturan pembentukan bilangan ini yaitu penambahan bilangan asli secara berurutan dan dimulai dari suku ke 2 (1+2=3), suku ke3 (3 + 3=6), suku ke4 ( 6+4=10), sukuke5 (10+5=15) dan begitu seterusnya.

Barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U₁, U₂, U₃, U₄, …… U_n

Konsep ini akan digunakan dalam Barisan dan Deret Aritmatika. Sebelum kecontoh maka terlebih dahulu kita membahas dan mempelajari apa itu barisan dan juga apa itu deret aritmatika.

Baca juga : Soal Statistika SD dalam Bentuk Tabel dan Diagram Beserta Jawaban

Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika merupakan barisan bilangan. Seandainya terjadi selisih dua suku kata yang berurutan akan tetap. Namun, pengurangan sebuah suku kata dengan suku kata sebelumnya dinamakan beda dengan dilambangkan “b”. Rumus “b” yaitu :

b = U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = U₄ – U₃ = …. = U_n – U_n-1

Suku pertama dalam barisan aritmatika biasanya dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatikanya adalah :

a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , a+(n–1)b

Cara Menentukan Suku ke-n Barisan Aritmatika

Untuk menentukan suku ke-n maka kita harus memahami konsep ini terlebih dahulu :

• a dinyatakan dengan suku pertama
• n dinyatakan banyaknya suku
• b dinyatakan beda suatu barisan.

Maka, rumus barisan aritmatika (U_n) adalah : U_n = a + (n-1) b

untuk mencari rumus suku ke – n (U_n) gunakan rumus barisan aritmatika.

Contoh 1 :

Tentukan suku ke – 50 dari barisan aritmatika 1, 4, 7, 10, …..

Penyelesaiannya : Suku pertama adalah a=1, b = 3 . Maka,

Maka suku ke – 50 adalah 148

Contoh 2 :

4, 8, 12, 16 . Tentukan suku pertama (a), beda (b), suku ke – 8 (U_n) dan rumus suku ke – n (U_n) adalah ……

Penyelesaiannya :

• Suku pertama (a) yaitu a = 4
• beda (b) yaitu b = U₂– U₁ = 8 – 4 = 4
• Suku ke – 8 (U_n) = U₈ = 4 + (8 – 1) 4 = 4 + 7 x 4 = 4 + 28 = 32
• Rumus suku ke – n (U_n) yaitu :

Baca juga : Contoh Soal Mean, Modus dan Median Beserta Jawabannya

Deret Aritmatika

Deret aritmatika terbentuk dari penjumlahan suku – suku yang terdapat pada barisan bilangan. Jadi bentuk umum deret aritmatika adalah a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + …. + (a + (n-1)b). Deret aritmatika terbagi menjadi 2 bagian yaitu :

• Jika deret aritmatika memiliki lebih dari nol atau bernilai positif dinyatakan deret aritmatika naik.
• Sedangkan, deret aritmatika memiliki lebih dari nol atau bernilai negatif dinyatakan deret aritmatika turun.

Contohnya :

Apakah 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + . . . merupakan deret aritmatika?

penyelesaian :

• U₂ – U₁ = 4 – 2 = 2
• U₃ – U₂ = 6 – 4 = 2
• U₄ – U₃ = 8 – 6 = 2
• U₅ – U₄ = 10 – 8 = 2

Hasil dari penyelesaian diatas tetap dan selalu 2 maka, 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + merupakan deret aritmatika. Jadi, Bisa dikatakan barisan bilangan tersebut deret aritmatika apabila hasil beda nya selalu sama dan tetap. Jika hasil beda nya tidak sama dan tidak tetap maka barisan tersebut bukanlah barisan deret aritmatika melainkan deret geometri.

Menentukan Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika

Rumus mencari jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah :

Contoh Soal :

4, 8, 12, 16 ….. Tentukan jumlah 6 suku pertama (S₆) adalah :

Penyelesaiannya : a = 4, b = 4

Baca juga : Cara Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks Beserta Contoh

Contoh Barisan dan Deret Aritmatika

1.Rumus suku ke-n barisan 21, 26, 31 dan 36 adalah …..

2. Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke -5 dan suku ke-8 berturut – turut 17 dan 32, Jumlah 8 suku pertama dari barisan tersebut adalah …..

Penyelesaian : U₅ = 17 dan U₈ = 31. Susun terlebih dahulu urutan U₅ – U₈, hitunglah dengan cara pengurangan mundur agar bisa mencari nilai b . U₅ = 17, U₆ = 22, U₇ = 27 U₈ = 31. Jadi a = 17 dan b = 5

3. Diketahui barisan aritmatika suku kelima 20 dan suku kesepuluh 40, suku kelima puluh barisan aritmatika tersebut adalah …

Penyelesaian : U₅ = 20 dan U₁₀ = 40, U₅₀ ….? Kita tentukan terlebih dahulu U₁= 4, U₂=8, U₃=12, U₄=16, U₅=20 hingga U₁₀=40 dengan cara menghitung mundur atau pengurangan dari U₁₀ Sampai U_5.

a=4, ( b = U₂ – U₁ = 8 – 4 = 4 )

Baca juga : Cara Menentukan Nilai Variabel X Dan Y Pada Matriks

Demikianlah penjelasan mengenai barisan dan deret aritmatika. Sangat perlu diketahui, bahwa barisan dan deret aritmatika dinyatakan dengan barisan bilangan dan berikutnya mempunyai nilai beda yang sama.